SEMESTRE AGOSTO 2021-ENERO 2022 de GEOMETRÍA ANALÍTICA (Semana del 22 al 26 de Nov)

 

Actividades de la semana del 22 al 26  de Noviembre.

1.- Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.

1.1.- Cuando el vértice de la parábola no está en el origen y tiene como coordenadas V(h, k) se procede como en el caso de la circunferencia, se hace un traslado, resultando lo siguiente:

.

 2.1.- Ecuación general de la parábola.

La ecuación general de la parábola se obtiene al desarrollar el binomio correspondiente y se iguala a cero la ecuación resultante:

2.- Elipse.

Definición.- La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constante, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos:

Figura 1

Elementos:

Focos.- Los puntos F y F´ (F₂) son los puntos fijos llamados focos.

Eje focal.- Es la recta que pasa por los focos.

Vértices.- Son los puntos de intersección de la elipse con el eje focal en la figura 1  V y V´ (V₂).

Eje Mayor.- Es el segmento de recta cuyos extremos son los vértices de la elipse.

Centro de la elipse.- Es el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los vértices.

Eje Menor.-  Es el segmento de recta que pasa por el centro de la elipse; es decir, por el punto C y es perpendicular al eje focal, en la fig 1 es el segmento B B´(B₂ ).

Lado recto.- Es el segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos puntos extremos están sobre la elipse, la elipse tiene dos lados rectos ya que tiene dos focos, el la fig 1 son los segmentos L₁R₁ y L₂R_2.

La longitud del lado recto se calcula: LR=2b²/a.

Otras relaciones entre los parámetros de la elipse son:

c²=a²-b² ,            la excentricidad e=c/a

2.1- Ecuación de la elipse con centro en el origen.

 

3.- Estudie los siguientes ejemplos:

1.       Determine la ecuación de la parábola con vértice V(5,3) y cuyo foco tiene coordenadas F (5.5). exprese el resultado en la forma general.

                             

                 

Solución:- Se trata de una parábola con el eje vertical, como el foco está arriba del foco usaremos la fórmula que se ve en la figura, desarrollemos el binomio:

x² -10x+25=8y-24    igualemos a cero;    x² -10x+25-8y+24=0  reduciendo;

                                                                                          Resultado:     x² -10x-8y+49=0

 2.-  

3.- Del siguiente ejemplo determine también el vértice, las coordenadas de foco y la ecuación de la directriz.

Solución: Traspasemos los términos de x y el independiente al segundo miembro de la ecuación:

y²-6y= -12x-45    Ahora, completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro;

 y²-6y+9= -12x-45+9    reduciendo términos,     y²-6y+9= -12x-36 , factorizando en el primer miembro el trinomio cuadrado perfecto y en el segundo el factor común -12 tenemos:

(y-3)²=-12(x+3)….. aquí podemos comparar con   (y-k)²=4p(x-h) y podemos determinar lo siguiente:

V(-3,3);   p=-12/4=-3 por lo tanto abre a la izquierda y su foco es el punto F(-6,-3), la ecuación de la directriz es x=0.

                                                  

4.- Determina los elementos de la parábola (vértice, foco, directriz, eje y lado recto) y grafica x² -2x -16y + 81 = 0

Solución:

Al observar la ecuación de la parábola, podemos darnos cuenta que el término cuadrático lo posee “y”, entonces se trata de una parábola horizontal, para comenzar a resolver este tipo de problemas, agrupamos los términos con “y” en el primer miembro de la igualdad.

x²-2x=16y-81

Paso 1: Se completa el trinomio al cuadrado perfecto en el primer miembro, y después se factoriza.

 x²-2x+1=16y-81+1

(x-1)²=16y-80

Paso 2: Se factoriza el segundo miembro de la igualdad, tomando como factor común a 16

(x-1)²=16(y-5)

La ecuación que se obtiene es de la forma: (y-k)²=4p (x-h)

Donde:

h = 1

k = 5

p = 4

¿Por qué p = 4?

4p=16

P=16/4=4

Encontrando los elementos de la parábola.

a) Obteniendo el Vértice de la Parábola

Para el vértice, debemos aplicar la fórmula V(h,k)

V(h,k)=(1,5)

b) Obteniendo el foco

F(h,k+p)=(1,5+4)

 F(1,9)

c) Obteniendo la directriz

y=k-p=5-4=1

y=1

d) Obteniendo el Lado Recto

LR=│4p│==│4(4)│=16

LR=16

e) Obteniendo la ecuación del eje

x=h=1

x=1

f) Obtener la gráfica de la parábola

 

5.- Dada la ecuación de la elipse  x²/16+y²/12=1 determine:

a) Las coordenadas de los focos:

Solución:

La elipse tiene centro en el origen y su eje focal está en el eje x, luego: a²=16 y b²=12; por lo tanto:

c² = a²-b²

c² =16-12

c² =4

c =+- 2   por lo que las coordenadas de los focos son F(2,0) y F´(-2,0)

b) Las coordenadas de los vértices:

Solución

Las coordenadas de vértices son de la forma V(a,0) y V´(-a,0) por lo tanto; V(4,0) y V´(-4,0)

c) La longitud de cada lado recto:

Solución

LR= 2b²/a

LR= 2(12)/4

LR= 6

d) La longitud del eje mayor:

Solución:

VV´= 2ª

VV´=2(4)

VV´=8

e) La longitud del eje menor:

Solución

BB´= 2b

BB´=2(12)^1/2

f) La excentricidad:

Solución

e=c/a

e=2/4

e=1/2

 

6.- Determine la ecuación de la elipse con vértices en V(3,0) y V´(-3,0) y cuya excentricidad es igual a 2/3.

Solución

El centro de la elipse es el punto medio de los vértices, C(0,0) entonces la ecuación que buscamos tiene la forma

x²/a²+y²/b²=1,

en donde

e=c/a

Como a=3 y e=2/3 entonces

2/3=c/3

De donde

c= 2(3)/3=2 Ahora determinemos el valor de b.

b²=a²-c²

b²=(3)²-(2)²

b²=9-4

b²=5

Por lo tanto la ecuación de la elipse es:

x²/9+y²/5=1

4.- Estudie los siguientes videos:

4.1.-Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen v(h, k), duración 8:06

https://youtu.be/kkKBxg5bim4

4.2.- Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen. Duración 12:06

https://youtu.be/gEM9tRFRbAo

4.3.- Ecuación de la Parábola | parábolas con vértice fuera del origen, duración 10:22

https://youtu.be/zSiEz0pCb8g

4.4.- Ecuación de la parábola dado vértice, foco │ fuera origen, duración 18:21

https://youtu.be/61uCLqDJGMg

4.6.- Ecuación de la ELIPSE dados Centro, Vértice y Foco, duración 2:54

https://youtu.be/W99R8z1AqLI

4.5.- Ecuación de la elipse dados dos vértices y sus focos | La Prof Lina M3, duración 4:42

https://youtu.be/b0rVGw0rW2E

5.- Resuelva los siguientes ejercicios, escriba sus resultados en el cuadro anexo, fecha de entrega jueves 25 de Noviembre:

5.1.- Dada la ecuación de la parábola x²+8x-2y +10=0 determine:

5.1.1.- Su ecuación en la forma ordinaria.

5.1.2.- Las coordenadas de su vértice.

5.1.3 .- Las coordenadas de su foco.

5.2.- Determine la ecuación de la parábola cuyo foco es F(3,-8) y su vértice V(3, -2).

5.3.- Determine la ecuación en la forma ordinaria y el vértice de la parábola y²-4y+8x-28=0.

5:4.- Escriba la ecuación de la elipse Cuyos focos son, F(0,3) yF´(0,-3) y sus vértices tienen las coordenadas V(0,5) y (0,-5).

5.5.- Escribe la ecuación de la elipse con focos F(0,3) y F´(0,-3) y excentricidad igual a 1/2.  

 

 

 

Grupo:

Nombre de los integrantes del equipo

CUADRO DE RESULTADOS

Ejercicio	Resultado
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.3 ecuación
5.3 vértice
5.4
5.5